Bienvenidos a este nuevo capítulo de este Curso Gratis de Programación #8 Lógica II, operaciones con conjuntos, Leyes de álgebra de conjunto y Álgebra booleana.
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Operaciones con conjuntos
Definiciones:
conjunto es una colección de objetos. Es un tipo de objeto
elemento x de un conjunto A es un objeto del conjunto, y escribimos x∈A (léase: “x pertenece a A”).
A es subconjunto de B, y escribimos A⊂B si todo elemento de A lo es también de B: A⊂B <=> (∀x)(x∈A => x∈B).
conjunto vacío un conjunto que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.
Si A es el conjunto potencia, o bien el conjunto de sus partes denotado P(A) es la familia de todos los subconjuntos del conjunto A: P(A)={X/ X⊂A}.
Ejemplo. Si A fuese el conjunto {3, 4, 5}, entonces P(A) = { {3}, {4}, {5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4, 5},φ}.
Si A y B son conjuntos, la unión de A y B se define como: A∪B = {x/x∈A ∨ x∈B}.
Ejemplo. Si A = {3, 4, 5, 8, 9} y B = {5, 7, 8, 9, 10}, entonces: A∪B = {3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}.
Si A y B son conjuntos, la intersección entre A y B es A ∩ B = {x / x∈A ∧ x∈B}.
Ejemplo. Si A = {3, 4, 5, 8, 9} y B = {5, 7, 8, 9, 10}, entonces: A∩B = {5, 8, 9}.
Axiomas:
De extensión. Dos conjuntos A y B son iguales (lo que se representa por A = B) únicamente si contienen los mismos elementos.
del vacío. Existe un conjunto vacío.
del conjunto potencia. Si A es un conjunto, entonces existe el conjunto P(X).
de la unión. Si A y B son conjuntos, entonces existe el conjunto A∪B.
Operaciones entre conjuntos
Diferencia de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, la diferencia entre A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B. Es decir A – B ={x / x ∈A ∧ x ∉ B}
Ejemplo: Si C = {u, v, x, y, z} y D = {s, t, z, v, p, q}, entonces C – D = {x, y, u}.
Diferencia
Complemento, union, O:
Dado un conjunto A y un conjunto de referencia U, el complemento de A son todos los elementos de U conjunto que no están en A. Ac = {x / x ∈U ∧ x ∉A} Es decir Ac = U – A
Ejemplo: Si U = {1, 2, 3,…,10} y A = {3, 4, 6, 7}, entonces Ac = {1, 2, 5, 8, 9, 10}.
Intersección: A o B
Diferencia Simétrica:
de A y B como el conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A. A Δ B= {x / x ∈ A ∧ x ∉ Β} ∪ {x / x ∉Α ∧ x ∈Β}== ( A – B ) ∪ ( B -A )
Ejemplo: Si A = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 30} y B = {2, 6, 20, 40, 50}, entonces AΔB = {1, 3, 4, 5, 7, 30} ∪ {2, 40, 50}, AΔΒ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 30, 40, 50}.
Conjuntos disjuntos:
dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes. Es decir, si A ∩ B = φ.
Ejemplo: si A = {1, 3, 8}, B = {2, 4, 9}, entonces A y B son conjuntos disjuntos.
Complemento
Producto cartesiano:
entre dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) que tienen como primera componente un elemento de A y como segundo componente un elemento de B. Es decir, A x B = {(a, b ) / a ∈Α ∧ b ∈ Β}
Ejemplo: Si A = {1, 2} y B = {3, 4, 5}, entonces A x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}.
Leyes de álgebra de conjunto:
Sean U un conjunto universal, A, B y C conjuntos entonces valen las siguientes leyes
Asociatividad: (Α∪Β)∪C = Α∪(Β∪C) (A∩Β)∩C = A∩(Β∩C)
Conmutatividad: Α∪Β = Β∪Α A∩B = B∩A
Distributividad: A∪(Β∩C) = (Α∪Β)∩(Α∪C) A∩(Β∪C) = (Α∩Β)∪(Α∩C)
Absorción: A∪(Α∩Β) = Α A∩(Α∪Β) = A
Idempotencia: A∪Α = Α B∩Β = Β
Identidad: Α∪φ = Α Α∩U = A A∪U = U A∩φ = φ
Complemento: A∪Αc = U A∩Α = φ (Ac)c = A Uc= φ, φc = U
Ley de Morgan: (A∪B)c = Ac ∩Βc (A∩Β)c = Ac ∪Βc A – B = A∩Βc
Así que tenemos en la teoría de conjuntos leyes similares a las de la lógica proposicional si pensamos en la O como una unión, en la y como una intersección y en el no como un complemento
Demostraciones en conjuntos:
Las igualdades entre operaciones de conjuntos son teoremas de la teoría de conjuntos.
Asociatividad de la unión y de la intersección Si A y B son conjuntos, valen las siguientes igualdades:
(Α∪Β)∪C = Α∪(Β∪C);
(A) ∩(R ))∩ C = A)∩ (R) ∩C)
Probaremos que (T∪ R)∪C = T ∪(R∪C). Para poder demostrarlo, dividimos la prueba en dos partes. La primera parte de la prueba se ocupará de demostrar que (T∪R)∪C ⊂ T∪(R∪C), y la segunda parte de la prueba que T∪(R∪C)⊂ (T∪R)∪C.
Sea x un elemento de (Α∪Β)∪C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α∪Β o x pertenece a C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α o a Β o a C.
- Por asociatividad de la disyunción, x pertenece a Α o a Β o a C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α o a Β∪C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α∪(Β∪C).
En consecuencia, (Α∪Β)∪C ⊂Α∪(Β∪C).
Por otro lado, si x pertenece a Α∪(Β∪C),
Entonces, por definición de unión, x pertenece a Α o a Β∪C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α o a Β o a C.
- Por asociatividad de la disyunción, x pertenece a Α o a Β o a C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α∪B o a C.
- Por definición de unión, x pertenece a (Α∪Β)∪C.
En consecuencia, Α∪(Β∪C)⊂(Α∪Β)∪C.
Por 7 y 17, se tiene que Α∪(Β∪C) = (Α∪Β)∪C).
Probaremos que (A∩Β)∩C = A∩(Β∩C). Para poder demostrarlo, dividimos la prueba en dos partes. La primera parte de la prueba se ocupará de demostrar que (Α∩Β)∩C ⊂ Α∩(Β∩C), y la segunda parte de la prueba Α∩(Β∩C) ⊂ (Α∩Β)∩C.
Sea x un elemento de (Α∩Β)∩C.
- Por definición de intersección, x pertenece a Α∩Β y a C.
- Por definición de intersección, x pertenece a Α, a Β y a C.
- Por asociatividad de la conjunción, x pertenece a Α, a Β y a C.
- Por definición de intersección, x pertenece a Α y a Β∩C.
- Por definición de intersección, x pertenece a Α∩(Β∩C).
En consecuencia, (Α∩Β)∩C ⊂ Α∩(Β∩C).
De otro lado, sea x un elemento de Α∩(Β∩C).
- Por definición de intersección, x pertenece a A y a Β∩C.
- Por definición de intersección, x pertenece a Α, a Β y a C.
- Por asociatividad de la conjunción, x pertenece a Α, a Β y a C.
- Por definición de intersección, x pertenece a Α∩Β y a C.
- Por definición de intersección, x pertenece a (Α∩Β)∩C.
En consecuencia, Α∩(Β∩C) ⊂ (Α∩Β)∩C.
Conmutatividad de la unión y de la intersección
Si A y B son conjuntos, valen las siguientes igualdades:
Α∪Β = Β∪Α,
A∩B = B∩A.
Probaremos que Α∪Β = Β∪Α. Para poder demostrarlo, la primera parte de la prueba se ocupará de demostrar que Α∪Β ⊂ B∪A, y la segunda parte de la prueba que B∪A ⊂ Α∪Β.
Sea x un elemento de Α∪Β.
- Por definición de unión, x pertenece a A o a B.
- Por conmutatividad de la disyunción, x pertenece a B o a A.
- Por definición de unión, x pertenece a B∪A.
En consecuencia, Α∪Β ⊂ B∪A.
Sea x un elemento de B∪A.
- Por definición de unión, x pertenece a B o a A.
- Por conmutatividad de la disyunción, x pertenece a A o a B.
- Por definición de unión, x pertenece a Α∪Β.
En consecuencia, B∪A ⊂ Α∪Β.
De 5 y 10, se concluye que Α∪Β = Β∪Α.
Probaremos A∩B = B∩A. Para poder demostrarlo, la primera parte de la prueba se ocupará de demostrar que A∩B ⊂ B∩A, y la segunda, que B∩A ⊂ A∩B.
Sea x un elemento de A∩B.
- Por definición de intersección, x pertenece a A y a B.
- Por conmutatividad de la conjunción, x pertenece a B y a A.
- Por definición de intersección, x pertenece a B∩A.
En consecuencia, A∩B ⊂ B∩A.
Sea x un elemento de B∩A.
- Por definición de intersección, x pertenece a B y a A.
- Por conmutatividad de la conjunción, x pertenece a A y a B.
- Por definición de intersección, x pertenece a A∩B.
En consecuencia, B∩A ⊂ A∩B.
De 5 y 10, se concluye que A∩B = B∩A.
Distributividad de la unión respecto de la intersección
Dados tres conjuntos cualesquiera, A, B y C, vale que
A∪(Β∩C) = (Α∪Β)∩(Α∪C).
Probaremos que A∪(Β∩C) = (Α∪Β)∩(Α∪C). Para poder demostrarlo, la primera parte de la prueba se ocupará de demostrar que A∪(Β∩C) ⊂ (Α∪Β)∩(Α∪C), y la segunda parte, que (Α∪Β)∩(Α∪C)⊂ A∪(Β∩C).
Sea x un elemento de A∪(Β∩C).
- Por definición de unión, x pertenece a A o a Β∩C.
- Por definición de intersección, x pertenece a A o a B y a C.
- Por distributividad de la disyunción respecto de la conjunción, x pertenece a A o a B, y x pertenece a A o a C.
- Por definición de unión, x pertenece a (Α∪Β) y a (Α∪C).
- Por definición de intersección, x pertenece a (Α∪Β) ∩ (Α∪C).
Sea x un elemento de (Α∪Β) ∩ (Α∪C).
- Por definición de intersección, x pertenece a (Α∪Β) y a Β∪C.
- Por definición de unión, x pertenece a Α o a Β, y x pertenece a Α o a C.
- Por distributividad de la disyunción respecto de la conjunción, x pertenece a A o a B, y x pertenece a C.
- Por definición de intersección, x pertenece a (Α∪Β) y a (Α∪C).
- Por definición de intersección, x pertenece a A∪(Β∩C).
Para las demás propiedades como absorción, idempotencia, identidad, complemento, leyes de De Morgan, entre otras es usada la misma técnica ilustrada anteriormente.
Diagramas de Venn:
ayudan a verificar todas y cada una de las reglas. son curvas cerradas que ayudan a visualizar gráficamente a los conjuntos. Usualmente el conjunto más grande en el tratamiento se encierra en un rectángulo mientras los demás se encierran en círculo.
Ejemplo: A ⊂ B
si (B∪C)⊆ A, entonces (A – B)∪(A – C) = Ø. La respuesta naturalmente es falsa, puesto que, si usamos diagramas de Venn, el conjunto (A – B)∪(A – C) queda representado en el siguiente diagrama.
Lo cual muestra la posibilidad de que en la región azul existan elementos. Para darnos cuenta de ello, podemos tomar A = {d, b}, B = {c, d}, C = {a, d}. (Nota que B∪C = {d} ⊆ A). Entonces A – B = {b} y A – C = {b}. Así, (A – B)∪(A -C) = {b} ≠ Ø.
Álgebra booleana
Objetos:
Un álgebra booleana es un sistema matemático centrado en los valores booleanos: cero y uno (0 y 1). Incluye los siguientes operadores:
- un operador NOT que intercambia los valores booleanos;
- un operador binario OR que produce un solo valor booleano;
- un operador binario AND que produce un solo valor booleano.
Axiomas:
Cerrado. El sistema booleano está cerrado respecto de OR y AND. Esto significa que, para cada par de valores booleanos, el operador produce un solo resultado.
Conmutatividad
Los operadores OR y AND son conmutativos. Es decir,
x OR y = y OR x; o
x AND y = y AND x;
Asociatividad
Los operadores OR y AND son asociativos. Es decir,
(x OR y) OR z = x OR (y OR z);
(x AND y) AND z = x AND (y AND z).
Distributividad
Los operadores binarios OR y AND son distributivos uno respecto del otro:o
x OR (y AND z) = (x OR y) AND (a OR z);
x AND (y OR z) = (x AND y) OR (a AND z) x.
“Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario” º “si A º I = A. Inverso.
Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano” º “si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A”.
uno puede pensar al álgebra booleana como estructura matemática cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT. Si pensáramos, para simplificar, en AND como “y”, en OR como “+”, el elemento de identidad con respecto a es uno y con respecto a + es cero.
No existe elemento de identidad para el operador NOT.
Los operadores “·” y “+” son conmutativos. Si pensamos el · como una intersección y el + como una unión o el · cómo y de lógica proposicional y el + como una o de la lógica proposicional. · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es,
x . (y + z) = (x . y) + (x . z) y
x + (y . z) = (x + y) . (x+z).
para cada valor de x, hay un valor x’ tal que x · x’ = 0 y x + x’ = 1. Éste valor es el complemento lógico de x. · y + son ambos asociativos, esto es,
(A . B) . C = A . (B . C) y
(A + B) + C = A + (B + C).
Teoremas:
Podemos probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando estos postulados. Entonces los teoremas de la teoría del álgebra booleana son totalmente idénticos a los de ambas teorías enunciadas anteriormente.
Si A, B y C son valores booleanos, entonces valen las siguientes igualdades.
A + A = A;
A · A = A;
A + 0 = A;
A . 1 = A;
A . 0 = 0;
A + 1 = 1;
(A + B)' = A' . B';
(A . B)' = A' + B';
A + A . B = A;
A . (A + B) = A;
A + A'B = A + B;
A' . (A + B') = A'B';
AB + AB' = A;
(A' + B') . (A' + B) = A';
A + A' = 1;
A . A' = 0.la lista anterior resume algunos de los teoremas que ya hemos venido reproduciendo, como los de idempotencia, las leyes de distribución, las leyes de De Morgan, entre otros.
función booleana
es una función del tipo A x A x A x… A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1. para los operadores OR, AND y NOT, corresponden las siguientes tablas.
Tabla 1. Tabla de valores para la función proposicional f
Tabla de valores para el operador OR
Tabla de valores para el operador AND
Para ilustrar un ejemplo en el cual podemos usar funciones booleanas, podemos imaginar la siguiente situación.
Hay cuatro amigos que quieren ir al cine si la mayoría quiere ir.
Cada uno puede votar que sí o no.
Representemos el voto de cada uno por xi con i =1, 2, 3 o 4.
La función devolverá sí (1) cuando el número de votos afirmativos sea 3 o 4 y en caso contrario devolverá 0.
tenemos una función f(x1, x2, x3, x4) que es igual a 1 si x1 + x2 + x3 + x4 es mayor o igual que 3.
El número posible de casos por elegir: x1, x2, x3, x4 es 24.
Del mismo modo como ordenamos en las proposiciones los valores de verdad podemos ordenar los 1 y ceros como sigue
Tabla de valores para la función proposicional f
Circuitos Combinatorios
Definiciones:
En una computadora digital sólo hay dos posibilidades, que se escriben como 0 y 1, para el objeto indivisible más pequeño. todos los programas y datos se pueden reducir a combinaciones de bits.
Un bit en una parte del circuito es trasmitido a otra parte del circuito como un voltaje. Entonces se necesitan dos niveles de voltaje; por ejemplo, un voltaje alto puede comunicar un 1 y un voltaje bajó, un 0.
Compuerta AND
Si llamamos X1 al estado del ramal superior izquierdo de la tubería en Y, llamamos X2 al estado del ramal superior derecho de la tubería Y.
Si 0 y 0 entonces 0, sino siempre 1. Esta idea la podemos expresar matemáticamente como una función booleana de la siguiente manera:
Compuerta OR:
Si 1 y 1 entonces 1, sino siempre 0. Esta idea la podemos expresar matemáticamente como una función booleana de la siguiente manera:
Compuerta NOT
Negación. A esta idea la podemos expresar matemáticamente como sigue.
podemos expresar como funciones booleanas a varios circuitos combinatorios más complejos, tales como el siguiente.
Circuito combinatorio
Para este circuito combinatorio que tiene valores de entrada X1 , X2 y X3, el valor de salida es Y.
Podemos formularlo mediante una expresión que usa los símbolos ∧, ∨ y ￢ (o las palabras “y”, “o” y “no”).
- Se sigue el flujo del circuito simbólicamente.
- Primero, se aplica AND a x1 y a x2, lo que produce la salida X1 ∧ X2 .
- La salida anterior, después, se une por OR con X3 para producir la salida (X1∧ X2) ∨ X3.
- Luego se aplica NOT a esta última salida.
- Entonces la salida y puede ser:
Y = ￢(X1∧ X2) ∨ X3.
Y = no(X1 y X2) o X3.
obtenemos la Secuencia combinatoria
Circuitos más complejos pueden ser atrapados con estas ideas simples.
Circuito combinatorio C obtenido por interconexión de los circuitos C1, C2 y C3
En términos generales, para el circuito combinatorio siguiente:
Circuito C
La tabla lógica correspondiente es:
Tabla de valores
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Sobre los autores
Álvaro Chirou
Yo soy Álvaro Chirou, tengo más de 20 Años de experiencia trabajando en Tecnología, eh dado disertaciones en eventos internacionales como OWASP, tengo más de 1.800.000 estudiantes en Udemy y 100 formaciones profesionales impartidas en la misma. Puedes serguirme en mis redes:
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Soy Laprovittera Carlos. Con más de 20 años de experiencia en IT brindo Educación y Consultoría en Seguridad de la Información para profesionales, bancos y empresas. Puedes saber más de mi y de mis servicios en mi sitio web: laprovittera.com y seguirme en mis redes:
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