Bienvenidos a este nuevo capítulo de este Curso Gratis de Programación #8 Lógica, conectores lógicos, equivalencias lógicas y reglas de inferencia.

Tabla de contenidos

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OBJETOS: son las proposiciones, conectores lógicos y sus valores de verdad.

Valores de verdad: tabla de verdad. nos permiten construir nuevas proposiciones y decidir su valor siempre que conozcamos previamente el valor de las proposiciones. es necesario considerar todas las combinaciones de cada una de las proposiciones.

Proposición las simbolizamos mediante las letras P, Q, R, S. es una afirmación que puede tomar un valor verdadero (V) o falso (F) puede ser cierta en un sistema pero en otro no. En números enteros, “1 + 1 = 2” es verdadera, pero en sistema binario ni siquiera tiene sentido.

proposición compuesta. está formada por otra

Conectores lógicos:

operador binario que toma dos proposiciones y arroja como resultado una sola. Se caracteriza por medio de un símbolo o palabra. “o” V Disyunción, “entonces” Condicional, “y” Conjunción

Negación: «NO» ∽P. cambia el valor

Disyunción:  «O» P Q. FF=F

Conjunción: «Y» P Q. VV=V

Condicional: P Q (si P implica Q) VF=F

Bicondicional: P Q (P si y solo si Q ), VV o FF = V

Sistemas Matemático

Axiomas:  conjunto de relaciones que permiten formar nuevas preposiciones y conocer sus nuevos valores de verdad, tales como, la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional… son reglas evidentes que aceptamos sin demostración.

Teoremas de la teoría: debemos formar proposiciones generalmente compuestas y hallar sus tablas de verdad.  

Contrarrecíproco:

(p q), su recíproca (q p). la tabla de q  p la podemos conocer mediante la tabla del condicional.  FV = V

Doble implicación:

 la conjunción de una implicación y su recíproca se denota por p q. la tabla de p ⇔ q puede obtenerse mediante la tabla de (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p): y su conjunción (p ⇒ q) y (q ⇒ p).

TAUTOLOGIA: 

siempre es verdadera. proposiciones que tienen un mismo valor de verdad independiente de los valores de verdad de las proposiciones más simples. La proposición  {( p ⇒ q ) ∧  p } ⇒ q posee la siguiente tabla. Valores de verdad de { ( p ⇒ q ) ∧ p } ⇒ q

tercero excluido

La proposición p (~ p) Contradicción siempre es falsa.

Contingencia: distintos valores de verdad

patología proposiciones a las cuales no se les haya podido determinar un valor como la conjetura de Golbach

Términos no definidos: de forma explícita por los axiomas.

Equivalencias lógicas:

 identificar cuáles objetos tienen exactamente el mismo comportamiento bajo “algún criterio de igualdad”.

 congruencias de triángulos si son exactamente iguales

 semejanzas de triángulos:  son copias. tienen los mismos ángulos, y los lados correspondientes miden un múltiplo de la medida del otro.

Se identifican los triángulos ya sea porque son idénticos en todas sus medidas correspondientes o porque las medidas de uno de ellos son proporcionales a las medidas del otro. El sentido de igualdad se da bajo algún tipo de identificación. Dos proporciones P y Q y que dependen de proposiciones p1,p2,…,pn  son equivalentes si siempre que, dados valores de verdad fijos para las proposiciones  p1  ,p2  ,…,pn, entonces P y Q y tienen el mismo valor de verdad. Para verificar que dos proposiciones son equivalentes, basta calcular, en una tabla de verdad conjunta o en dos tablas de verdad separadas, los valores de verdad de cada proposición.

Idempotencia:

valen las siguientes equivalencias lógicas: si se tiene una proposición, entonces conectarla mediante una conjunción o una disyunción consigo misma no altera el valor de verdad. Sea P una proposición, mostraremos la equivalencia lógica 

p ∨ p ≡  p

p ∧ p ≡  p

Idempotencia de la disyunción:

los valores de verdad, en la columna de P P y en la de P, son exactamente los mismos, es decir, que P P y P son lógicamente equivalentes

Conmutatividad:

 valen las siguientes equivalencias lógicas: el orden de dos proposiciones conectadas mediante una conjunción o una disyunción no altera el resultado de su valor de verdad.

 p ∧ q ≡ q ∧  p

p  ∨  q ≡ q  ∨   p

Asociatividad:

Valen las siguientes equivalencias lógicas: el orden en que se asocien las proposiciones mediante una conjunción o una disyunción no altera el valor de verdad de la proposición.

(p ∨ q) ∨ r ≡  p ∨ (q ∨ r)

(p ∧  q) ∧  r ≡ p ∧  (q ∧  r)

 

Distributividad:

 valen las siguientes equivalencias lógicas:

 (p ∧  q) ∨   r ≡  (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

 (p ∨  q) ∧   r ≡  (p ∧  r) ∨  (q ∧  r)

la propiedad es distributiva y permite distribuir la conjunción respecto de la disyunción y la disyunción respecto de la conjunción sin alterar el valor de verdad de las proposiciones.

Verifiquemos la expresión : (p ∨ q)  ∧ r ≡  (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).  comenzamos por verificar la tabla para el lado izquierdo, es decir, para (p ∨ q)  ∧ r, y obtenemos los siguientes valores. Tabla de (p o q) y r

Seguidamente, tomamos la proposición del lado derecho: (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)  y calculamos su tabla correspondiente, para lo cual obtenemos lo siguiente. Tabla de (p y r) o (q y r)

la columna final, que es donde están compilados los valores de verdad de las proposiciones, coinciden, por lo cual, concluimos que: (p ∨  q) ∧ (q ∧ r ) ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) , es decir, que (p ∨ q) ∧ r y (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) son equivalentes lógicamente.

Leyes de De Morgan:

reglas para negar conjunciones y disyunciones.

No confundir que dos proposiciones lógicamente equivalentes sean equivalentes en el sentido del conector si y sólo si.

Sean p, q proposiciones, entonces valen las siguientes equivalencias lógicas:

¬ (p q) ¬ p ¬ q

¬ (p q) ¬ p ¬ q

Niveles del lenguaje

En un primer nivel, tenemos objetos, axiomas y teoremas, nuestros teoremas deciden los valores de verdad de las distintas proposiciones que podemos formar, y todo se queda al nivel de los objetos.

un nivel más arriba del lenguaje. Al ver una teoría desde afuera, SI hacemos una afirmación sobre sus objetos, estamos hablando en un “metalenguaje”. la equivalencia lógica es una expresión del “metalenguaje”, y la equivalencia del “si y sólo si” es una equivalencia del lenguaje.

el silogismo: dos proposiciones como premisas y otra como conclusión. Aristóteles lo formuló por primera vez.

las paradojas. Consideremos la proposición P: “Un hombre afirma que está mintiendo”.  No es posible determinar un valor de verdad para la proposición P, ya que de cualquier modo se concluye que tanto P como no P son falsas.  Esta es la paradoja del mentiroso.

Sistema matemático

Axiomas: Se supone que son verdaderos

Definiciones: se usan para crear nuevos conceptos en términos de los existentes

Términos no definidos: de forma explícita por los axiomas.

Dentro de un sistema matemático es posible derivar teoremas.

teorema es una proposición que se ha probado que es verdadera.

Un lema es un teorema poco interesante pero útil para probar otro teorema.

Un corolario es un teorema derivado de otro teorema.

demostración o prueba: argumento que establece la verdad de un teorema

lógica herramienta para el análisis de las demostraciones

Razonamiento:

serie de pasos de deducción para obtener conclusiones. sucesión de proposiciones escritas de la siguiente manera: P1, P2, … Pn/Q. donde P1, P2, … Pn reciben el nombre de hipótesis o premisas y Q de conclusión.

razonamiento válido si: P1 y P2 y … Pn=> Q Se cumple

Razonamiento invalido: Falacia. La paradoja del mentiroso es una falacia.

cómo sabemos si un razonamiento es válido: construir las tablas y ver que cuando todas las premisas sean ciertas, entonces Q también lo sea. la tabla de P, P => Q y verificaremos cada vez que P y P => Q sean verdad, entonces Q es verdad. el razonamiento es verdadero.

P

P => Q

——–

Q

es válido.

Como deducimos: razonamientos válidos:

Simplificación: P y Q arbitrarias: siempre que se tenga que una conjunción es verdadera, entonces podremos desglosarla diciendo que cada proposición por separado es verdadera.

P Λ Q

P.

Conjunción:  P y Q arbitrarias: siempre que se tengan dos proposiciones verdaderas y una conjunción verdadera, entonces su conjunción también será verdadera.

P

Q_____

P Λ Q.

Silogismo hipotético: P, Q y R arbitrarias: existe un grado de transitividad de las implicaciones. Si  P implica Q, y está, a su vez, a R, entonces P implica a R. es como que Q hace un puente entre P y R.

P => Q

Q => R

______

P=> R.

Silogismo disyuntivo (SD): P, Q y R arbitrarias: si en una disyunción una premisa es falsa, pero la disyunción es cierta, entonces podemos eliminar la premisa falsa y quedarnos con la otra como verdadera.

P V Q

¬ P____

Q.

Reglas de inferencia – Validacion de razonamientos:

modus ponens:

 P y Q arbitrarias entonces P=>Q, P / Q, es válido,   ya que, siempre que P=>Q, P son verdaderas se obtiene que la proposición Q también lo es. 

modus tollens:

P y Q arbitrarias entonces el razonamiento P=>Q, ¬ Q / ¬ P, es válido,  ya que, siempre que P=>Q, ¬ Q   son verdaderas se obtiene que la proposición ¬ P también lo es. 

suma:

P y Q arbitrarias entonces P / P V Q , es un razonamiento válido,  ya que, siempre que P sea verdadera se obtiene que la proposición    P o Q  también lo es.

simplificación:

 P y Q arbitrarias entonces P Λ Q / P, es un razonamiento válido,  ya que,

Conjunción

P y Q arbitrarias entonces P, Q / P Λ Q es un razonamiento válido ya que siempre que P=>Q, ¬ Q   son verdaderas se obtiene que la proposición ¬ P también lo es. 

Silogismo  hipotético :

 P , Q y R arbitrarias entonces  P=>Q, Q => R / P=> R es válido, ya que

Silogismo disyuntivo (SD)

Dadas proposiciones P, Q y R arbitrarias entonces el siguiente razonamiento P V Q  ¬ P / Q es válido ya que siempre que P V Q  ¬ P son verdaderas se obtiene que la proposición  Q también lo es.

Definiciones

Las proposiciones suelen ser estáticas pero cuando son variables es necesario reescribir el cálculo proposicional en función de predicados.

“Todo natural es entero, y 2 es un natural / 2 es entero” Este razonamiento sigue la forma proposicional P y Q / R, es un razonamiento válido

No es posible conocer si toda la proposición P y Q => R es cierta desde la Lógica proposicional, ya que depende de una variable en el conjunto de los números naturales y una conclusión en el conjunto de los enteros.

Necesitamos de la Lógica de predicados para poder expresar TODO y ALGUN

Predicado: oración con la capacidad de conectarse con  expresiones que indican que ciertas variables viven en un dominio y  se forma una proposición con variables. se dice que expresa una propiedad.

pensamos a los predicados como funciones. recibe un conjunto de argumentos en el dominio indicado, los procesa y devuelve un único resultado. 

símbolos: 

variables X, Y, Z, , X1, X2…; 

conectivos  ¬, V, O, →, ↔; 

cuantificadores ∀ (universal), ∃ (existencial);

auxiliares (), [], {},…

comunes  =, ≥,∩,…

funciones proposicionales

Definiciones

Sea P(x) una oración que incluye la variable x y sea D un conjunto.

P se llama función proposicional o predicado (respecto a D) si para cada x en D, P(x) es una proposición.

D es el dominio de discurso (también llamado dominio de referencia) de P.

Ejemplos: 

Si D es el conjunto de los números naturales, entonces algunas funciones proposicionales son:

P(n): n2 + n es un número par. Dominio: naturales. Variable: n. función:  nn es un número par.

P(m): m(m + 1)/2 es un número natural. Dominio: naturales. Variable: m. función:  m (m + 1)/2 es un número natural.

P(x): x2 – x es un número entero no positivo. Dominio: naturales. Variable: x. función:  x2 – x es un número entero no positivo.

Si D es el conjunto de los números reales, entonces algunas funciones proposicionales son:

P(x): si 0 <|x|< 1 entonces 0< x2 < 1. Dominio: Reales. Variable: x. función:  si 0 <|x|< 1 entonces 0 < x2 < 1.

P(x): si a es un real no nulo y b es un real, entonces la ecuación ax = b tiene una solución. Dominio: Reales. Variable: x. función:  si a es un real no nulo y b es un real, entonces la ecuación ax = b tiene una solución.

P(x): la ecuación x2 – x = 0 posee dos soluciones reales. Dominio: Reales. Variable: x. función:  la x2 – x posee dos soluciones reales.

funciones proposicionales con múltiples argumentos:

Ejemplo: Si D1 es el conjunto de los números reales, y D2 es el conjunto de los números enteros, entonces algunas funciones proposicionales son: 

P(x, y): si x es un número real, entonces hay un número entero y tal que x es menor o igual que y. Dominio: XY Reales y Enteros. Variable: x real y enteros. función:  si x es un número real, entonces hay un número entero y tal que x es menor o igual que y.

P(x, y): si x es un número real, entonces hay un número entero y tal que y es menor o igual que x. Dominio: XY Reales Y Enteros. Variable: x real y enteros. función:  si x es un número real, entonces hay un número entero y tal que y es menor o igual que x.

P(x, y): la ecuación x2 – y = 0 posee infinitas soluciones reales. Dominio: Reales Y Enteros. Variable: x y. función: la ecuación x2 – y = 0 posee infinitas soluciones reales.

las proposiciones funcionales pueden llegar a tomar cualquier cantidad de variables. 

CUANTIFICADORES lógicos:

Definiciones

Un cuantificador es un “operador” que indica con qué frecuencia un predicado P(x) se satisface dentro del dominio de la variable x. Determinan la cantidad de elementos que cumplen con cierta propiedad

Oración en la que una variable es objeto directo: P(x) // P(5) V  ////  P(x) // P(0.5) F

Cuantificador universal  :

Definición:

Sea P una función proposicional con dominio del discurso D. Se dice que la afirmación para toda x, P(x) es una afirmación cuantificada universalmente.  para toda x, P(x) se escribe (∀ x ) ( P(x) ).

La afirmación (∀x) ( P(x) ) es verdadera si P(x) es verdadera para toda x en D. La afirmación (∀ x ) ( P(x) ) es falsa si P(x) es falsa para al menos una x en D.

Universal: ∀x:P(x) todo número es entero

Negación: ¬∀x:P(x) no todos los números son enteros. ∃x/¬P(x)

Ejemplo:

Si el dominio de nuestra variable es el conjunto de los números naturales, entonces tenemos que:  

Para todo n en los naturales, n2 + n es un número par. Esta afirmación está cuantificada universalmente y es de la forma: (∀n) (P(n)). Esta afirmación es cierta.

Para todo m en los naturales, m(m + 1)/2 es un número natural. Esta afirmación está cuantificada universalmente y es de la forma: (m)(P(m)). Esta afirmación es cierta. 
Para todo x en los naturales, x– x es un número entero no positivo. Esta afirmación está cuantificada universalmente y es de la forma: (m)(P(m)). Esta afirmación es falsa, ya que falla cuando x = 2.

Ejemplo: Si consideramos a x e y números reales y a n un número entero, entonces se cumplen las siguientes condiciones.

Para cada x en los reales, si 0 <|x|< 1, entonces 0 < x< 1. Esta afirmación está cuantificada universalmente y es de la forma: (x)(P(x)). En particular, esta función proposicional es cierta. 

Para cada en los reales, si a es un real no nulo y b es un real, entonces la ecuación ax = b tiene una solución. (x)(P(x)). Notar que a y b están fijos, por tanto, no los afecta el cuantificador. En particular, esta función proposicional es cierta.

Para cada a no nulo en los reales, la ecuación ax2 – x = 0 posee dos soluciones reales. (∀α no nulo)(P(α)). En particular, esta función proposicional es cierta. Notar que x es la variable de la ecuación, pero a es la variable del cuantificador.

Cuantificador existencial :

Definiciones

pueden ser ciertas para algún objeto en particular.

Sea P una función proposicional con dominio de discurso D. Se dice que la afirmación existe x, P(x) es una afirmación cuantificada existencialmente. P(x) se escribe ∃x P(x)

La afirmación ∃x P(x) es verdadera si P(x) es verdadera para al menos una x en D. La afirmación ∃x P(x) es falsa si P(x) es falsa para toda x en D.

Existencial:  ∃x/P(x) Existe Algún número entero

Negación: ¬∃x/P(x) No Existe ningún número entero ∀x/¬P(x)

Ejemplo: Si D son los números naturales, entonces algunas afirmaciones cuantificadas existencialmente son las siguientes.  

Existe un n natural tal que n2 + n es múltiplo de 3. Esta afirmación es de la forma (∃n) (P(n)). Además, es cierto, ya que n = 6 cumple la afirmación.     

Existe un m natural tal que m + 1 no es par. Esta afirmación es de la forma (∃m) (P(m)). Además, es cierto, ya que m = 2 cumple la afirmación.     

Existe un x en los naturales tal que 3 < x <4. Esta afirmación es de la forma (∃x) (P(x)). es falsa porque no hay naturales entre 3 y 4.

Convinacion

Ejemplo: Si consideramos a x e y números reales y a n un número entero, entonces se cumplen las siguientes condiciones.

Para todo x que es real, hay un número entero tal que n es menor o igual que x. Esta afirmación es de la forma (∀) (∃n) (P(n, x)). Esta afirmación es verdadera. 

No existe un entero n tal que, para todo x real, x < n. Esta afirmación es de la forma no [(∃n) (∀x)(P(n, x))]. Esta afirmación es cierta. 

Para todo x en los reales, para todo y, si, al menos uno es no nulo, entonces 2+ y2 > 0. Esta afirmación es de la forma (∀x) (∀y) (P(x, y)). Esta afirmación es verdadera.

En una expresión de la forma (cuantificador x en un dominio) (una propiedad P(x)) se dice que la variable x ha pasado a ser variable ligada, en caso contrario es una variable libre como la variable y en (cuantificador x en un dominio)(una propiedad P(x,y)).

La negación de los cuantificadores, para lo que se tienen las dos siguientes reglas:

no [(∃x) P(x)] ≡ (∀x) [no P(x)]; 

no [(∀x) P(x)] ≡ (∃x) [no P(x)].

De otro lado valen las conmutaciones

(∃x) (∃y) (P(x, y)) ≡ (∃y) (∃x) (P(x, y).

(∀x) (∀y)(P(x, y)) ≡ (∀y) (xy)(P(x, y)).

Pero (∀x ) (∃y) (P(x, y)) no es equivalente a (∃y) (∀x ) (P(x, y)), no conmutan los cuantificadores existencial y universal.

no siempre es posible conmutarlos. si existe una llave que abre todas las puertas, no es lo mismo que, para cada puerta, existe una llave que la abre.

Para probar equivalencias entre fórmulas, se suele escribir en una columna las equivalencias y en otra las justificaciones con las reglas usadas.

Ejemplo

Sean x, y variables, sean P(x,y),Q(x,y)  propiedades, entonces el predicado (∃x)(∀y)(P(x,y)  o Q(x,y)) equivale a no (∀x)(∃y)(no P(x,y)  y no Q(x,y)).  
(∃x)(∀y)(P(x,y) o Q(x,y)) 
≡ (∃x)(∀y) (no no P(x,y) o no no Q(x,y)) (por la doble negación),
≡ (∃x)(∀y) no (no P(x,y) y no Q(x,y)) (leyes de De Morgan),
≡ (∃xno (∃y) (no P(x,y) y no Q(x,y)) (negación del existencial en y),
≡ no(∀x) (∃y) (no P(x,y) y no Q(x,y)) (negación del universal en x).

Ejemplo

Sean x, y variables, sean P(x,y),Q(x,y)  propiedades, entonces el predicado (∃x)(∀y)(P(x,y)=> Q(x,y)) equivale a no (∀x)(∃y)( P(x,y)  y no Q(x,y)),  
(∃x)(∀y)( P(x,y)=>Q(x,y)), 
≡ (∃x)(∀y)(no P(x,y)  o  Q(x,y)) (P => Q ≡ no P o Q),
≡ (∃x)(∀y)  no(P(x,y)  y no Q(x,y)) (leyes de De Morgan),
≡ (∃x)no(∃y)( P(x,y)  y no Q(x,y))  (negación del existencial en y),
≡ no(∀x)(∃y)(P(x,y)  no Q(x,y))  (negación del universal en x.

sean: P(n): n es par, Q(n): n es impar dos propiedades en D, donde el D es conjunto de los enteros. Entonces: para todo x (P(n) o Q(n)), se puede enunciar como “para todo entero n, se tiene que n es par o n es impar”, lo cual es cierto.

Pero “para todo n P(n)) o “para todo n Q(n)”, se puede enunciar como “todos los enteros n son pares o todos los enteros n son impares”, lo que es falso. Se concluye que, en general, (∀ n)(P(n) o Q(n) es diferente (∀ n P(n)) o (∀ n Q(n)).

Como demostramos: 

Definiciones

un argumento que establece la verdad de un teorema se llama demostración o prueba. Estos métodos son el método directo, el de reducción al absurdo y el de disyunción de casos.

para demostrar un teorema de la forma PQ, se deben demostrar por separado P=>Q y Q=>P. Y, finalmente, concluir PQ

Método directo

Si P y Q son proposiciones y el razonamiento:  P/Q es válido, entonces concluimos que P=>Q es una proposición verdadera. Es decir, P=>Q es un teorema.

Ejemplo:

“la suma de dos enteros pares es siempre par”. Este teorema puede ser escrito en términos más matemáticos y lógicos como: “si es un entero par e y es un entero par, entonces x + y es un entero par”.
Podemos notar que es un enunciado de la forma:  P=>Q, donde P es la proposición: “x es un entero par e y es un entero par ” que, a su vez, es la conjunción de dos proposición es 

R: x es un entero par, 
S: y es un entero par. 
Q es la proposición “x + y es un entero par”.
En consecuencia, el teorema es de la forma R y S => Q.

debemos suponer que P es cierta y concluir que Q es cierta: 

x es un entero par, e y es un entero par (premisa);

x es un entero par (por simplificación en 1); 

y es un entero par (por simplificación en 1); 

existe un entero n tal que x = 2n (definición de número par en 2);

existe un entero tal que y = 2m (definición de par en 3);

x + y = 2n + 2m = 2(m + n) (por 4, 5 y propiedades); 

x + y es múltiplo de 2 (por 6);

x + y es par (por 7).

En consecuencia, el teorema es cierto, ya que en 1 supusimos P y en 8 concluimos Q. Es decir, P => Q es un teorema.

Otra forma: Considere dos enteros pares x e y. pueden ser escritos como x = 2a e y = 2b por definición de números pares respectivamente para algunos enteros a y b. Luego la suma x + y = 2a + 2b 2(a + b). Por lo tanto, x + y tiene un factor de 2 y, por definición, es par.

Prueba por casos:

Si P y Q son proposiciones, entonces el razonamiento 
                        P V Q
                         P
                          .
                         R
                         Q
                         .
                         R
                        ___
                         R

es válido.

si tenemos la premisa P o Q como cierta, y, por separado, si P es cierta, implica que R es cierta; y, si Q es cierta, implica que R es cierta, entonces podemos concluir que R es cierta.

es necesario demostrar que todos los casos de las premisas que tenemos de hipótesis implican la conclusión.

Pero para la demostración, en cada uno de los casos, se podrán aplicar distintos métodos de demostración. Puede suceder inclusive que en una demostración se apliquen varios métodos en diversas partes de ella.

Ejemplo

“si n es un número natural, entonces n(n + 1)/2 es un número natural”.

dado un número natural n, entonces n es par impar: la hipótesis “n es un número natural” se puede dividir en dos casos, estos son: “es un número natural par” o “n es un número natural impar”. Entonces el teorema toma la forma “P o Q =>R”.

Para usar el método de demostración, debemos probar por separado P=>R y Q=>R.

Caso 1 n es par (hipótesis).  Existe un entero m tal que n = 2m (definición de par en 1).

n(n + 1) = (2m)(2m + 1)/2 (por 2).

n(n + 1) = m(2m + 1) (simplificando en 3).

m (2m + 1) es un natural (es producto de naturales). 

n(n + 1) es natural (por 4 y 5).

Caso 2 n es impar (hipótesis).  Existe un entero m tal que n = 2m + 1 (definición de par en 1).

n(n + 1) = (2m + 1)(2m + 1 + 1)/2 (por 2).

n(n + 1) = (2m + 1)(2m + 2)/2 (simplificando en 3).

n(n + 1) = (2m + 1)2(m + 1)/2 (simplificando en 4).

n(n + 1) = (2m + 1)(m + 1) (simplificando en 5).

(2m + 1)(m + 1) es un natural (es producto de naturales). 

8n(n + 1) es natural (por 3 y 7).

en el primer caso supusimos a P en el paso 1 y concluimos R en el paso 6; en el segundo caso, supusimos a Q en el paso 1 y concluimos R en el paso 8. En otras palabras, P=>R y Q=>R, y, por el método de disyunción de casos, podemos concluir que P o Q =>R.

Reducción al absurdo (Abs)

El siguiente razonamiento es válido

no Q

.

R Λ ¬ R

_________

Q

Entonces decimos que es contradictorio y podemos asumir que A no puede ser cierta.

probar un teorema de la forma P=>Q.

Se parte por suponer la hipótesis P y además como hipotética la negación de la proposición Q. y se pretende encontrar una contradicción lógica. De hallarse se concluye que la hipótesis de partida no Q ha de ser falsa y Q es verdadera.

Ejemplo: “existen infinitos primos” método de reducción al absurdo. Supongamos que el número de primos es finito.  Sean p1,…, pn todos los primos. Sea N = p1,…, pn + 1. Claramente, p no es divisible por ninguno de los primos p1,…, pn.

Sin embargo, sabemos que todo entero puede ser expresado como producto de primos elevados a potencias. Por lo que N debe ser necesariamente divisible por algún primo P que no está en la lista: p1,…, pn.

Método de inducción matemática: Si uno posee una propiedad que depende de los naturales, llamemos P(n). Si es posible demostrar que P(1) vale y P(n)=>P(+ 1) también vale. Entonces se concluye que P(n) vale para todos los números naturales.

Los primeros razonamientos:

proposición categórica

están formadas por dos términos: un sujeto (S) y un predicado (P). Y son del tipo:

  • Todo S es P.
  • Ningún S es P.
  • Algunos S son P.
  • Algunos S no son P

Silogismo categórico 

está compuesto por exactamente tres proposiciones categóricas (dos premisas y una conclusión), y si ambas premisas comparten exactamente un término (llamado el término medio), que además no está presente en la conclusión. 

  • Los planetas son redondos.
  • Marte es un planeta.
  • Marte es redondo.

Reglas:

  • Un silogismo debe siempre operar con base en las premisas y en la conclusión.
  • Las premisas no pueden ser la conclusión ni contenerla.
  • De puras premisas particulares, no puede obtenerse una conclusión verdadera.
  • La conclusión no puede contener las premisas de las cuales se desprende.  
  • Una conclusión negativa no puede obtenerse de premisas afirmativas.
  • Las premisas deben tener términos comunes.
  • La conclusión no puede hacer afirmaciones sobre asuntos que no contienen las premisas.

El mal uso de silogismos categóricos puede generar falacias como la ignorancia del sujeto. el sujeto de una de las premisas, no corresponde con la naturaleza del sujeto de la otra premisa, por tanto, teniendo el mismo término medio, la conclusión es errónea:

  • Las aves tienen plumas.
  • Mi almohada tiene plumas.
  • Mi almohada es un ave.

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Álvaro Chirou

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Laprovittera Carlos

Soy Laprovittera Carlos. Con más de 20 años de experiencia en IT brindo Educación y Consultoría en Seguridad de la Información para profesionales, bancos y empresas. Puedes saber más de mi y de mis servicios en mi sitio web: laprovittera.com y seguirme en mis redes:

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